Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 080101 «Математика» icon

Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 080101 «Математика»


Схожі
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070602 “гідрологія І гідрохімія...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 030401 «Правознавство» Затверджено...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 060100 "Правознавство" Затверджено...
Робоча навчальна програма дисципліни для студентів спеціальності 030304 Археологія Затверджено...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальностей 070501 "географія"...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 030401 “Право" освітньо-кваліфікаційний...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 030401 “Право" освітньо-кваліфікаційний...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності математика, статистика...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності математика, статистика...
Робоча навчальна програма дисципліни етнограф І яукра ї н и для базового напряму...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 060100 "Правознавство" київ 2009...
Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 0703 Хімія шифр І назва спеціальності...



КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА


Механіко-математичний факультет


кафедра геометрії


Укладач: д.ф.-м.н. Пришляк О.О.


ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ

ТА ТОПОЛОГІЯ


РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА


для студентів спеціальності 6.080101 «Математика»


Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол № ___

від „___”__________________

Зав. кафедри

_____________ ____________

Підпис Прізвище, ініціали

Декан факультету

_____________ ____________


Робоча навчальна програма з дисципліни «Аналітична геометрія». Укладач: доктор фізико-математичних наук, професор Пришляк Олександр Олегович


Лектори: д.ф.-м.н., проф. Пришляк О.О., асист. Бабич В.М.


Викладачі: проф. Пришляк О.О., асист. Бабич В.М., аспір. Будницька Н.В.,

аспір. Будницька Т.В.,аспір. Лукова Н.В., аспір. Личак Д.П.


Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 200_ р.


___________________________

Підпис голови НМК факультету/ інституту


ВСТУП

Дисципліна «Диференціальна геометрія та топологія» є базовою нормативною дисципліною для спеціальності «математика», що читається у III та IV семестрах в обсязі 4 кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS), і розрахована на 252 години занять. З них 70 годин лекцій, 70 годин лабораторних робіт і 112 годин самостійної роботи (ІII семестр: лекції – 36, лабораторні – 36, самостійна робота – 60 годин; ІV семестр: лекції – 34, лабораторні – 34, самостійна робота – 52 години). Кожен семестр закінчується іспитом.


^ Мета і завдання навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»: навчитися досліджувати геометричні та топологічні властивості кривих, поверхонь, многовидів за допомогою методів диференціального числення.


^ Предмет навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»: крива, поверхня, топологічний простір, многовид, тензорне поле.


Вимоги до знань та вмінь студентів.

Знати: основні поняття диференціальної геометрії, зокрема: крива, поверхня, топологічний простір, гомеоморфізм, тригранник Френе, кривина, скрут, перша і друга квадратичні форми поверхні, повна та середня кривини, геодезичні лінії, тензорне поле.

Вміти: задавати криву та поверхню різними способами, застосовувати першу та другу квадратичні форми поверхні при розв’язуванні задач, обчислювати кривину, скрут кривої, повну та середню кривини поверхні, знаходити елементи тригранника Френе, використовувати топологічні поняття та методи, обчислювати коваріантну похідну.


^ Місце в структурно-логічній схемі спеціальності. Нормативна навчальна дисципліна «Диференціальна геометрія та топологія» є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр» і використовується при вивченні нормативних курсів «математичний аналіз», «диференціальні рівняння», «теоретична механіка» та інших.

^ Система контролю знань та умови складання іспиту. Навчальна дисципліна «Диференціальна геометрія та топологія» оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 4 модулів.

Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шкалою в кожному семестрі окремо.

Модульний контроль: 4 модульні контрольні роботи (по 2 роботи на кожен семестр).


І семестр

Змістовий модуль 1 — 30 бали:

  • виконання лабораторних робіт (активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) — 10 балів;

  • письмова контрольна робота — 20 балів;


Змістовий модуль 2 — 30 балів:

  • виконання лабораторних робіт (активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) — 10 балів;

  • письмова контрольна робота — 20 балів.


Іспит — 40 балів.


Всього за семестр — 100 балів.


ІІ семестр

Змістовий модуль 3 — 30 бали:

  • виконання лабораторних робіт (активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) — 10 балів;

  • письмова контрольна робота — 20 балів;


Змістовий модуль 4 — 30 балів:

  • виконання лабораторних робіт (активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) — 10 балів;

  • письмова контрольна робота — 20 балів.


Іспит — 40 балів.


Всього за семестр — 100 балів. При цьому, кількість балів відповідає оцінці:

1-34 – «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням дисципліни;

35-59 – «незадовільно» з можливістю повторного складання;

60-64 – «задовільно» («достатньо») ;

65-74 – «задовільно»;

75 - 84 – «добре»;

85 - 89 – «добре» («дуже добре»);

90 - 100 – «відмінно».

Шкала відповідності

За 100-бальною шкалою

Оцінка за національною шкалою

90 – 100

5

відмінно

зараховано

85 – 89

4

добре

75 – 84

65 – 74

3

задовільно

60 – 64

35 – 59

2

незадовільно

не зараховано

1 – 34



Тематичний план лекцій і практичних занять

№ теми

Назва теми

Кількість годин

лекції

лабораторні

роботи

Самостійна

робота

Інші форми

контролю




І семестр

^ Змістовий модуль 1. Теорія кривих

1

Теорія кривих

15

16

27










Модульна контрольна робота

1













^ Змістовий модуль 2. Теорія поверхонь

2

Теорія поверхонь

20

18

33










Модульна контрольна робота




2










Всього годин за І семестр

36

36

60







ІІ семестр

^ Змістовий модуль 3. Елементи топології

3

Елементи топології

11

12

17










Модульна контрольна робота

1













^ Змістовий модуль 4. Тензори на многовидах

4

Гладкі многовиди

8

8

12







5

Тензори

6

6

10







6

Теорія гомотопій

8

7

13










Модульна контрольна робота




1










Всього годин за ІІ семестр

34

34

52







Всього за курс

70

70

112







Змістовий модуль 1. Теорія кривих.

  1. Теорія кривих.


Лекція 1. Вступ до диференціальної геометрії. Крива. Дотична.


Предмет диференціальної геометрії та топології. Про розвиток геометрії та топології в Україні та світі.

Вектор-функція. Неперервна параметризована крива на площині та в просторі. Гладка крива. Проста та замкнена криві. Дотичний вектор. Регулярна точка. Регулярна крива. Гомеоморфізм. Еквівалентні параметризації. Дотична. Рівняння дотичної.


Лабораторна робота 1. Крива. Дотична. – 2 год.

  1. Операції з вектор-функціями.

  2. Гладка крива.

  3. Дотичний вектор.

  4. Рівняння дотичної.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

  1. Побудова кривої Пеана.

  2. Складання параметричних рівнянь кривої.

  3. Властивості операцій з вектор-функцією.

  4. Визначення класу регулярності кривої.

  5. Перевірка кривих на еквівалентність.

  6. Складання рівняння дотичної.


Література [1, с.3-17; 3, с. 8; 5, с.5-8; 4, с.3-5]


Лекція 2. Довжина кривої, натуральна параметризація. Базис Френе. Кривина.

Довжина кривої. Рівність довжин у еквівалентних кривих. Натуральна параметризація, її властивості. Базис Френе кривої в R3. Тригранник Сере-Френе. Кривина кривої.


Лабораторна робота 2. – 2 год.

1. Знаходження довжин кривих.

2. Складання рівнянь ребер та граней тригранника Сере-Френе.

3. Знаходження натуральної параметризації

4. Знаходження базису Френе


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження довжин кривих.

2. Складання рівнянь ребер та граней тригранника Сере-Френе.

3. Знаходження натуральної параметризації

4. Знаходження базису Френе

Література.[1, с.21-30; 3, с.21-23, 156-164; 5, с.8-11, 24-26; 4, с.5, 7-9].


Лекція 3. Кривина і скрут кривої в тривимірному просторі. Формули Френе.


Формули Френе. Натуральне рівняння кривої (задання кривої кривиною та скрутом).

Кривина і скрут. Формули для їх знаходження. Геометричний зміст кривини та скруту. Критерії того, що крива є прямою та плоскою кривою.


Лабораторна робота 3. Кривина і скрут кривої в тривимірному просторі. Формули Френе.– 2 год.

1. Знаходження кривини, скрута та натурального рівняння кривої

2. Застосування формул Френе.

3. Критерії того, що крива є прямою.

4. Критерії того, що крива є плоскою кривою.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження кривини, скрута та натурального рівняння кривої

2. Застосування формул Френе.


Література [1, с.27-45; 3, с.156-164; 5, с.11, 26-29; 4, с.9,10].


Лекція 4. Кривина плоскої кривої. Особливі точки.


Рівняння дотичної та нормалі кривої на площині. Орієнтована кривина. Формула для знаходження орієнтованої кривини кривої на площині. Лінії, що задані загальними рівняннями. Регулярні криві. Особливі точки.


Лабораторна робота 4. Кривина плоскої кривої. Особливі точки. – 2 год.

1. Складання рівняння дотичної та нормалі кривої на площині.

2. Знаходження орієнтованої кривини кривої на площині.

3. Знаходження особливих точок плоских кривих.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Складання рівняння дотичної та нормалі кривої на площині.

2. Знаходження орієнтованої кривини кривої на площині.

3. Знаходження особливих точок плоских кривих та визначення їх типу.


Література [1, с.17-20, 57-69; 3, с. 149-156; 5, с.7,8,11; 4, с.10,11].


Лекція 5. Дотикання кривих. Обвідна. Еволюта. Криві в Rn.

Дотикання кривих. Дотикаюче коло. Центр кривини. Обвідна. Еволюта та евольвента. Їх рівняння. Базис Френе кривої в Rn Формули Френе.


Лабораторна робота 5. Дотикання кривих. Обвідна. Еволюта. Криві в Rn.2 год.

1. Визначення порядку дотику кривих.

2. Знаходження центру кривини.

3. Знаходження обвідної.

4. Рівняння еволюти та евольвенти.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Визначення порядку дотику кривих.

2. Знаходження центру кривини.

3. Знаходження обвідної.

4. Рівняння еволюти та евольвенти.

5. Базис Френе кривої в Rn Формули Френе.


Література [1, с.57-64.].


Лекція 6. Евклідова метрика в криволінійних системах координат. Ріманова та псевдоріманова метрики.


Неперервна система координат в області в Rn. Криволінійні координати точки. Гладкі системи координат. Матриця Якобі. Регулярна СК. Координатні лінії. k-вимірні координатні поверхні. Функції заміни координат. Приклади СК: евклідові, лінійні, полярні, циліндричні, сферичні.

Закон перетворення координат дотичного вектора при заміні криволінійної системи координат. Евклідова метрика в криволінійній СК. Стереографічні координати на сфері. Ріманова метрика і скалярний добуток. Псевдоріманова метрика. Псевдоевклідів простір, псевдосфера. Простір Мінковського.


Лабораторна робота 6. Ріманова та псевдоріманова метрики. – 2 год.

1. Властивості стереографічної проекції.

2. Знаходження евклідової метрики в криволінійних системах координат.

3. Властивості сферичних трикутників.

4. Група перетворень площини Мінковського.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Властивості стереографічної проекції.

2. Знаходження евклідової метрики в криволінійних системах координат.

3. Властивості сферичних трикутників.

4. Знаходження ріманової метрики на крузі Пуанкаре, що індукована стереографічною проекцією псевдосфери уявного радіуса

Література [1, с.46-56; 3, с. 24-35; 5, с.94-125; 4, с.6].


^ Лекція 7. Еліптична та гіперболічна геометрії.

Еліптична (проективна) геометрія. Група ізометрій проективної площини.

Гіперболічна геометрії (геометрія Лобачевського), отримана з псевдосфери.

Модель Пуанкаре та модель верхньої півплощини геометрії Лобачевського.


Лабораторна робота 7. Еліптична та гіперболічна геометрії. – 2 год.

1. Знаходження відстані між точками в різних моделях геометрії Лобачевського.

2. Властивості трикутників в геометрії Лобачевського.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження відстані між точками в різних моделях геометрії Лобачевського.

2. Властивості трикутників в геометрії Лобачевського.

Література [1, с.181-189; 3, с.35-63; 5, с.126-145; 4, с.6]


Лекція 8. Ізометрії площини Лобачевського. Контрольна робота.

Дробово-лінійні перетворення та ізометрії площини Лобачевського.


Лабораторна робота 8. Ізометрії площини Лобачевського. – 2 год.

1. Властивості дробово-лінійних перетворень.

2. Група рухів площини Лобачевського.


Завдання для самостійної роботи (2 год.)

1. Властивості дробово-лінійних перетворень.

2. Група рухів площини Лобачевського.


Література [1, с.176-181; 3, с.43-63; 5, с.126-145; 4, с.6].


Контрольні запитання до змістового модуля І

  1. Як визначаються регулярні криві для різних типів їх завдання (параметричного, загального, як графік функції)?

  2. Написати рівняння ребер та граней тригранник Серре-Френе для кривої r(t)={x(t),y(t),z(t)}.

  3. Які властивості має природна (натуральна) параметризація?

  4. Чому дорівнюють кривина та скрут кривої r(t)={x(t),y(t),z(t)}?

  5. Як знайти орієнтовану кривину кривої r(t)={x(t),y(t)}?

  6. Яким буде параметричне рівняння плоскої кривої, заданої натуральним рівнянням k=k(s)?

  7. Як знайти особливі точки кривої F(x,y)=0?

  8. Що є обвідною сім’ї нормалей даної кривої?

  9. Як за допомогою кривини та скруту визначити чи є крива прямою, чи є вона плоскою?

  10. Як перетворюються координати дотичного вектора при заміні криволінійної системи координат?

  11. Як знаходиться довжина дуги в евклідовій, полярній, сферичній та циліндричній системах координат?

  12. Чому дорівнює сума кутів трикутника в проективній геометрії та геометрії Лобачевского?

  13. Описати групи ізометрій проективної площини та площини Лобачевского.

  14. Як ріманова метрика переноситься гладким відображенням?


Типова контрольна робота:

  1. Визначити кривину та скрут лінії x= et sin t, y= et cos t, z=et.

  2. Написати рівняння нормалі до кривої x2-x+y2=0, x2+y2+z2=1 в точці (0, 0, 1).

  3. Довести, що кривина кривої дорівнює кривині її проекції на стичну площину.

  4. Довести, що бірегулярна крива буде плоскою тоді та тільки тоді, коли її скрут дорівнює 0.



Змістовий модуль 2. Теорія поверхонь.

  1. Теорія поверхонь.


Лекція 9. Поверхні в R3. Дотична площина, нормаль.

Неперервна параметрична поверхня в тривимірному просторі. Гладкі поверхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Криві на поверхнях, координатні лінії. Дотичний вектор. Особливі (сингулярні) та регулярні точки. Регулярні поверхні. Дотичний простір. Орієнтовані поверхні.


Лабораторна робота 9. Поверхні в R3. Дотична площина, нормаль.– 2 год.

1. Складання параметричних рівнянь поверхонь.

2. Поверхні обертання та лінійчасті поверхні.

3. Рівняння дотичної площини та нормалі.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Параметричні рівняння поверхонь.

2. Рівняння дотичної площини та нормалі.

3.Знаходження одиничного вектора нормалі


Література [1, с.70-87, 5, с.31-37; 4, с.12, 13].


Лекція 10. Перша квадратична форма. Ізометричні поверхні.

Перша квадратична форма, її компоненти. Заміна компонент форми при заміні параметризації. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні. Ізометрія. Теорема про рівність перших квадратичних форм ізометричних поверхонь. Група ізометрій.

Перша квадратична форма лінійчастих поверхонь та поверхонь обертання в тривимірному просторі. Площа поверхні. Повні поверхні.


Лабораторна робота 10. Перша квадратична форма. – 2 год.

1. Знаходження першої квадратичної форми.

2. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні.

3. Властивості ізометричних відображень.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Перша квадратична форма лінійчастих поверхонь та поверхонь обертання

2. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні.

Література [1, с.88-102; 3, с.164-167; 5, с.38-48; 4, с.14].


Лекція 11. Друга квадратична форма.

Друга квадратична форма, нормальна кривина. Головні кривини. Індикатриса Дюпена. Гаусова та середня кривини. Класифікація точок на поверхні. Теорема Меньє.


Лабораторна робота 11. Друга квадратична форма.– 2 год.

1. Друга квадратична форма, нормальна кривина.

2. Гаусова та середня кривини.

3. Головні кривини.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Нормальна кривина.

2. Гаусова та середня кривини.

3. Теорема Меньє.

Література [1, с.108-127; 3, с.167-203; 5, с.49-70; 4, с.15-17].


Лекція 12. Дериваційні рівняння.

Дериваційні рівняння Вейнгартена-Гаусса. Символи Кристофеля. Теорема Родріга.

Сферичне зображення поверхні.


Лабораторна робота 12. Дериваційні рівняння. – 2 год.

1. Класифікація точок на поверхні.

2. Знаходження ізометричних перетворень.

3. Застосування теореми Родріга.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Класифікація точок на поверхні.

2. Застосування теореми Родріга.

3. Сферичне зображення поверхні.

Література [1, с.128-133; 3, с.167-203; 5, с.71-76, 24-26; 4, с.17-20].


Лекція 13. Теорема Гауса.

Формули Гауса та Петерсона-Кодацці. Теорема Гауса. Теорема Боне.


Лабораторна робота 13. Теорема Гауса. 2 год.

1. Формули для символів Кристофеля.

2. Формула Гауса.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Знаходження символів Кристофеля.

2. Знаходження гаусової кривини за першою квадратичною формою.

Література [1, с.133-139; 3, с.167-203;5, с.71-76, 24-26; 4, с.17-20].


Лекція 14. Класифікація напрямків у точці. Геодезичні лінії.

Класифікація напрямків у точці. Лінії кривини та асимтотична лінії. Геодезична кривина. Геодезичні лінії. Їх рівняння. Геодезичні лінії на площині Лобачевського.


Лабораторна робота 14. Лінії кривини та асимптотичні лінії– 2 год.

1. Лінії кривини.

2. Асимптотичні лінії.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження ліній кривини.

2. Знаходження асимптотичних ліній.

Література [1, с.140-148; 3, с.331-350; 5, с.82-93; 4, с.21-22].


Лекція 15. Властивості геодезичних ліній.

Властивості геодезичних ліній. Коваріанта похідна дотичного векторного поля. „Паралельний” перенос дотичного вектора вздовж кривої на поверхні.


Лабораторна робота 15. Геодезичні лінії.– 2 год.

1. Рівняння геодезичних ліній. Властивості геодезичних.

2. Формула для геодезичної кривини.

3. Паралельне перенесення вектора вздовж кривої на поверхні.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження геодезичних ліній.

2. Знаходження геодезичної кривини.

Література [1, с.149-159; 3, с.331-350; 5, с.77-81; 4, с.22,53].


Лекція 16. Теорема Гауса-Боне. Поверхні сталої кривини.

Теорема Гауса-Боне. Поверхні сталої кривини. Приклади та властивості. Сума кутів геодезичного трикутника. Мінімальні поверхні.


Лабораторна робота 16. Поверхні сталої кривини. Контрольна робота – 2 год.

1. Поверхні сталої кривини.

2. Сума кутів геодезичного трикутника.

3. Властивості мінімальних поверхонь.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

  1. Дослідження властивостей поверхонь сталої кривини.

  2. Знаходження суми кутів геодезичного трикутника.

Література [1, с.160-175,].


Лекція 17. k-вимірні поверхні в n-вимірному просторі.

Неперервна параметрична поверхня розмірності k. Гладкі поверхні. Базисні дотичні вектори. Особливі (сингулярні) та регулярні точки. Регулярні поверхні. Заміна параметризації. Дотичний вектор. Дотичний простір. Заміна координат вектора при заміні параметризації.


Лабораторна робота 17. k-вимірні поверхні в n-вимірному просторі.– 2 год.

1. Заміна параметризації поверхонь.

2. Заміна координат вектора при заміні параметризації.

3. Дотичний простір.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Особливі (сингулярні) та регулярні точки.

2. Поверхні-графіки та неявні поверхні.

3. Регулярні відображення поверхонь.

Література [1, с.70-87, 5, с.31-37; 4, с.12, 13].


Лекція 18. Регулярні k-вимірні поверхні.

Гіперповерхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Регулярні відображення поверхонь. Еквівалентність поняття регулярності для різних способів задання поверхні. Орієнтовані поверхні.


Лабораторна робота 18. Регулярні k-вимірні поверхні.– 2 год.

1. Різні способи задання поверхонь.

2. Еквівалентність поняття регулярності для різних способів задання поверхні.

3. Орієнтовані поверхні.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Складання різних типів рівнянь поверхонь.

2. Перевірка поверхонь на орієнтованість.


Література [1, с.70-77, 5, с.31-37].


Контрольні запитання до змістового модуля 2

    1. Як пов’язані поняття регулярності для поверхонь зананих різними способами?

    2. Скільки орієнтацій існує на поверхні?

    3. Як пов’язані перші квадратичні форми ізометричних полверхонь?

    4. Як знайти головні кривини поверхні?

    5. Як індикатриса Дюпена та повна кривина пов’язані з типом точок поверхні?

    6. Як знайти головні напрямки поверхні? Які їх властивості?

    7. Як знайти коефіцієнти зв’язності (символи Кристофеля) поверхні?

    8. Яким умовам повині задовольняти 6 функцій, щоб існувала поверхня, для якої вони є коефіцієнтами першої та другої квадратичних форм?

    9. Чи на всіх поверхнях існують

а) асимптотичні лінії,

б) лінії кривини

в) геодезичні лінії?

    1. Як між собою пов’язані кривина, нормальна кривина та геодезична кривина кривої на поверхні?

    2. Як знайти на поверхні криву між двома точками з найменшою довжиною?

    3. Якою є перша квадратична форма поверхонь сталої кривини у напівгеодезичній системі координат?

    4. Як змінюються координати дотичного вектора при заміні параметризації k-вимірної поверхні?


Типова контрольна робота:

В точці (0, 0) на поверхні r={}

  1. Знайти середню та гаусову кривини

  2. Визначити тип точок поверхні

  3. Знайти головні кривини

  4. Знайти асимптотичні лінії

  5. Обчислити символи Кристофеля другого роду (коефіцієнти зв’язності)

  6. Знайти геодезичні лінії (диф.рівняння)


.


Перелік запитань на іспит


  1. Вектор-функція. Неперервна крива. Гладка крива. Проста та замкнена криві.

  2. Дотичний вектор. Регулярна точка. Еквівалентні параметризації.

  3. Дотична. Рівняння дотичної.

  4. Довжина кривої. Рівність довжин у еквівалентних кривих. Натуральна параметризація, її властивості.

  5. Базис Френе кривої в R3. Тригранник Сере-Френе.

  6. Кривина та скрут кривої.

  7. Рівняння дотичної та нормалі кривої на площині.

  8. Орієнтована кривина. Формула для знаходження орієнтованої кривини кривої на площині.

  9. Особливі точки лінії, що задані загальними рівняннями.

  10. Дотикання кривих. Дотикаюче коло. Центр кривини. Обвідна. Еволюта та евольвента. Їх рівняння.

  11. Базис Френе кривої в Rn Формули Френе.

  12. Неперервна та гладка системи координат в області в Rn. Матриця Якобі. Регулярна СК. Функції заміни координат.

  13. Закон перетворення координат дотичного вектора при заміні криволінійної системи координат. Евклідова метрика в криволінійній СК.

  14. Ріманова метрика і скалярний добуток. Псевдоріманова метрика. Псевдоевклідів простір, псевдосфера. Простір Мінковського.

  15. Еліптична (проективна) геометрія. Група ізометрій проективної площини.

  16. Гіперболічна геометрії (геометрія Лобачевського), отримана з псевдосфери. Модель Пуанкаре та модель верхньої півплощини геометрії Лобачевського.

  17. Неперервна параметрична поверхня в тривимірному просторі. Гладкі поверхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Криві на поверхнях, координатні лінії. Дотичний вектор. Особливі (сингулярні) та регулярні точки. Регулярні поверхні. Дотичний простір. Орієнтовані поверхні.

  18. Перша квадратична форма, її компоненти. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні.

  19. Ізометрія. Теорема про рівність перших квадратичних форм ізометричних поверхонь. Група ізометрій.

  20. Друга квадратична форма, нормальна кривина. Головні кривини. Індикатриса Дюпена.

  21. Гаусова та середня кривини. Класифікація точок на поверхні. Теорема Меньє.

  22. Дериваційні рівняння Вейнгартена-Гаусса. Символи Кристофеля. Теорема Родріга.

  23. Формули Гауса та Петерсона-Кодацці. Теорема Гауса. Теорема Боне.

  24. Класифікація напрямків у точці. Лінії кривини та асимтотична лінії.

  25. Геодезична кривина. Геодезичні лінії. Їх рівняння.

  26. Властивості геодезичних ліній. Коваріанта похідна дотичного векторного поля. „Паралельний” перенос дотичного вектора вздовж кривої на поверхні.

  27. Теорема Гауса-Боне. Поверхні сталої кривини. Приклади та властивості. Сума кутів геодезичного трикутника.

  28. Неперервна та гладка параметричні поверхні розмірності k. Регулярні поверхні. Заміна параметризації. Дотичний вектор. Дотичний простір.

  29. Заміна координат вектора при заміні параметризації. Гіперповерхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Регулярні відображення поверхонь. Еквівалентність поняття регулярності для різних способів задання поверхні. Орієнтовані поверхні.



Змістовий модуль 3. Елементи топології.

  1. Елементи топології.



Лекція 19. Топологічний простір. База. Підпростір.

Топологічний простір. Відкриті множини. Топологічна структура метричного простора. Приклади: тривіальна, дискретна, коскінчена топологія. Окіл. Критерій відкритості множини. База та передбаза. Критерії бази. Сильніша та слабкіша топології. Індукована топологія та підпростір.


Лабораторна робота 19. Топологічний простір. База. Підпростір.– 2 год.

1. Приклади топологічних структур.

2. Приклади баз.

3. Порівняння топологій.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

  1. Перевірка аксіом топології.

  2. Використання бази топології.


Література [1, с.214-227; 3, с.64-69; 5, с.146-151; 4, с.23-26].

Лекція 20. Неперервне відображення. Зв’язність.

Замкнені множини. Замикання та внутрішність. Скрізь щільні множини. Межа множини. Неперервне відображення. Критерії неперервності. Збіжність у топологічних просторах. Гомеоморфізм. Розбиття простору. Зв’язність. Критерій зв’язності. Компоненти зв’язності. Неперервний образ зв’язного простору. Шлях, лінійна зв’язність. Зв’язність лінійно зв’язного простору. Приклад зв’язного, але лінійно незв’язного простору.


Лабораторна робота 20. Неперервне відображення. Зв’язність. – 2 год.

1. Властивості операції замикання та внутрішності.

2. Побудова гомеоморфізмів.

3. Властивості компонент зв’язності.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Критерії неперервності.

2. Доведення негомеоморфності просторів.

3. Перевірка букв алфавіту на гомеоморфність.

Література [1, с.231-235, 240-249; 3, с.69-78; 5, с.152-161; 4, с.27-29, 32-34].


Лекція 21. Тихонів добуток, факторпростір. Аксіоми відокремлюваності.

Тихонів добуток, факторпростір. Аксіоми відокремлюваності. Критерій Т1-простору. Хаусдорфовий та нормальний простори. Нормальність метричного простору.


Лабораторна робота 21. Тихонів добуток, факторпростір. Аксіоми відокремлюваності. – 2 год.

1. Використання факторпросторів. Приклеювання топологічних просторів.

2. Приклад нехаусдорфового Т1-простору.

3. Властивості Т1- та Т2-просторів.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Приклади факторпросторів.

2. Збереження аксіом відокремлення при операціях з топологічними просторами.

Література [1, с.228-231; 3, с.78-80; 5, с.162-163; 4, с.30,31].


Лекція 22. Лема Урісона.

Лема Урісона. Теорема Тітце-Урісона про існування неперервного продовження.

Лабораторна робота 22. Регулярні та нормальні простори – 2 год.

1. Властивості нормальних просторів.

2. Регулярні простори.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Критерій нормальності топологічного простору.

2. Властивості регулярних просторів.

Література [4, с.31-32; 3, с.86-89].


Лекція 23. Компактні простори.

Покриття та підпокриття. Компактні простори. Властивості. Теорема про неперервний образ компактного простору. Теорема Тихонова про топологічний добуток компактних просторів.


Лабораторна робота 23. Компактні простори. – 2 год.

1. Приклади компактних просторів.

2. Неперервний образ компактних просторів.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Канторова множина і нескінчений добуток двоточкової множини.

2. Дослідження властивостей компактних просторів.

Література [1, с.236-239; 3, с.80-84; 5, с.163-171; 4, с.34, 35].


Лекція 24. Компактифікація. Контрольна робота.

Компактифікація. Локально-компактний простір. Теорема про існування одноточкової компактифікації.


Лабораторна робота 24. Компактифікація.– 2 год.

1. Властивості локально-коомпактних просторів.

2. Приклади компактифікацій.


Завдання для самостійної роботи (2 год.)

1. Дослідження властивостей локально-компактних просторів.

2. Побудова компактифікацій.

Література [1, с.236-239; 3, с.84-86; 5, с.163-171; 4, с.34, 35].


Контрольні запитання до змістового модуля 3

  1. Яка топологія є найсильнішою (найслабкішою)?

  2. В кожному з 20 варіантів визначити чи має простір ^ Х ту саму властивість, що і простір Y, якщо простір Y є а) компактним, б) зв’язним, в) зі зліченою базою, г) замкненою підмножиною в Z, а простір Х є 1) факторпростором простору Y, 2) підпростором в Y, 3) замкненою множиною в Y, 4) топологічним добутком Y Y, 5) неперервним образом простору Y?

  3. Як пов’язані між собою операції замикання, внутрішності, взяття межі та доповнення?

  4. Чи кожна відкрита (замкнена) в індукованій топології множина є відкритою (замкненою) в просторі?

  5. Як пов’язані між собою поняття зв’язності та лінійної зв’язності?

  6. Як пов’язані між собою різні аксіоми відокремлення?

  7. Що може бути компактифікацією прямої, площини?


Типова контрольна робота

  1. Довести, що неперервний образ компактного простору компактний.

  2. Приклад нехаусдорфового Т1-простору (з доведенням).

  3. Довести, що замикання зв’язної множини зв’язна.

  4. Приклад зв’язного і лінійно незв’язного простору (з доведенням).



Змістовий модуль 4. Тензори на многовидах.

  1. Гладкі многовиди.


Лекція 25. Многовиди. Приклади. Гладкі відображення многовидів

Топологічний многовид, карта, атлас. Приклади: Rn, Sn, графіки. Функції та відображення многовидів в локальних координатах. Гладкі многовиди. Гладка структура на многовиді. Гладкі функції та відображення гладких многовидів. Дифеоморфізм. Матриця Якобі відображення. Рівність розмірностей дифеоморфних многовидів. Перенесення гладкої структури гомеоморфізмом. Теорема про неявну функцію для многовидів. Підмноговиди.


Лабораторна робота 25. Многовиди. – 2 год.

1. Приклади многовидів.

2. Гладкі атласи карт.

3. Операції з многовидами.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Приклади многовидів.

2. Перевірка атласу на гладкість.

3. Добуток многовидів, відкриті підмноговиди.

4. Теорема про неявну функцію для многовидів.


Література [1, с.253-256; 3, с.91-113; 5, с.172-186; 4, с.39-44].


Лекція 26. Дотичний вектор до многовида. Дотичний простір

3 означення дотичного вектора: 1) алгебраїчне (координатне), 2) клас еквівалентних кривих, 3) диференціювання в точці. Їх еквівалентність. Дотичний простір. Дотичне розшарування до многовида. Диференціал відображення (відображення захоплення). Регулярні та критичні точки. Регулярні та критичні значення. Субмерсія. Теорема про прообраз регулярного значення.


Лабораторна робота 26. Гладкі відображення многовидів– 2 год.

1. Гладкі відображення многовидів.

2. Диференціал відображення.

3. Прообраз регулярного значення.


Завдання для самостійної роботи (2 год.)

1. Знаходження диференціалу відображення многовидів.

2. Знаходження прообразу регулярного значення.

Література [5, с.187-201; 3, с.113-130; 4, с.45-47].


Лекція 27. Занурення та вкладення многовидів. Орієнтація.

Занурення (імерсія). Вкладення. Приклади. Існування вкладення замкненого многовида в евклідів простір. Орієнтований многовид. Орієнтація. Задання орієнтації картою. Перенесення орієнтації дотичного простору вздовж кривої. Приклади орієнтованих та неорієнтовних многовидів.


Лабораторна робота 27. Занурення та вкладення многовидів. Орієнтація. – 2 год.

1. Занурення двовимірних многовидів в тривимірний простір.

2. Вкладення многовидів.

3. Орієнтовані многовиди.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Побудова занурень 2-многовидів в R3 та вкладень в R4.

2. Побудова вкладень добутку сфер та проективних просторів.

Література [1, с.250-253; 3, с.143-149; 5, с.202-211].


Лекція 28. Топологічна класифікація 2-вимірних многовидів.

Склеювання многокутників. Приклеювання ручок та листів Мьобіуса. Теорема класифікації. Тріангуляція 2-вимірних многовидів. Канонічні склейки многокутників. Ейлерова характеристика та рід 2-вимірних многовидів. Зв’язна сума.


Лабораторна робота 28. Топологічна класифікація 2- многовидів. – 2 год.

1. Зв’язна сума двовимірних многовидів.

2. Склеювання многокутників.

3. Доведення негомеоморфності многовидів різного роду.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Властивості операції зв’язної суми многовидів.

2. Обчислення ейлорової характеристики.

Література [1, с.257-261; 3, с.247-269; 5, с.225-233].



  1. Тензори

Лекція 29. Тензори. Означення та приклади.

Координатне, інваріантне та лінійне означення тензорів. Вектор, диференціал, білінійна форма.


Лабораторна робота 29. Тензори.– 2 год.

1. Приклади тензорів.

2. Тензорний закон перетворення компонент тензора.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження компонент тензора при заміні системи координат.

2. Визначення валентності та типу тензорів.

3. Знаходження лінійних комбінацій тензорів.


Література [1, с.190-200; 3, с.292-303; 6, с.4-18; 4, с.48-51].


Лекція 30. Алгебраїчні операції над тензорами.

Лінійні комбінації, перестановка індексів, згортка, тензорний добуток, опускання та підняття індексів, симетрування та альтернація.


Лабораторна робота 30. Алгебраїчні операції над тензорами.– 2 год.

1. Тензорний добуток

2. Опускання та підняття індексів

3. Згортка

4. Симетрування та альтернація


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження тензорного добутку та згортки.

2. Опускання та підняття індексів.

Література [1, с.200-202; 3, с.304-307; 6, с.19-31, 4, с.51-52].


Лекція 31. Коваріантне диференціювання. Паралельний перенос. Тензор кривини

Евклідова та афінна зв’язності, коваріантна похідна за напрямком. Алгебраїчні властивості коваріантного диференціювання. Ріманова зв’язність (зв’язність Леві-Чевіта). Паралельний перенос. Тензор кривини (координатне означення). Комутатор (дужка Лі) векторних полів. Інваріантне означення тензора кривини. Симетрії тензора кривини. Тензор кривини поверхні.


Лабораторна робота 31. Коваріантне диференціювання. Тензор кривини – 2 год.

1. Коваріантна похідна. Властивості.

2. Паралельний перенос.

3. Тензор кривини.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Знаходження коваріантної похідної.

2. Знаходження тензора кривини.


Література [1, с.203-211; 3, с.319-355; 6, с.88-121, 130-147, 4, с.53-55].



  1. Теорія гомотопій


Лекція 32. Гомотопні відображення.

Гомотопія як відношення еквівалентності. Гомотопічний тип. Стяжні простори. Ретракти.

Лабораторна робота 32. Гомотопні відображення.– 2 год.

1. Гомотопні відображення.

2. Гомотопічно еквівалентні простори.

3. Стяжні простори.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження гомотопії між відображеннями.

2. Перевірка просторів на гомотопічну еквівалентність.

Література [1, с. 262-265, 6. с.79-81].


Лекція 33. Фундаментальна група

Простір петель. Еквівалентні петлі. Фундаментальна група. Залежність від точки. Гомоморфізм фундаментальних груп, що породжений неперервним відображенням. Фундаментальна група гомотопічно еквівалентних просторів.

Лабораторна робота 33. Фундаментальна група – 2 год.

1. Фундаментальна група кола та букета кіл.

2. Властивості фундаментальних груп.

3. Фундаментальна група сфери.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Обчислення фундаментальних груп графів та підмножин площини.

2. Фундаментальна група поверхонь з межею.

Література [1, с.265-275].


Лекція 34. Алгебра зовнішніх диференціальних форм.

Зовнішні диференціальні форми як кососиметричні коваріантні тензори. Зовнішній добуток. Диференціал. Когомології де Рама. Їх гомотопічні властивості.


Лабораторна робота 34. Алгебра зовнішніх диференціальних форм.– 2 год.

1. Дія форми на векторах.

2. Зовнішній добуток та диференціал форм.

3. Когомології де Рама прямої та площини.

4. Когомології де Рама кола.


Завдання для самостійної роботи (3 год.)

1. Знаходження дії форми на векторах, зовнішнього добутку та диференціала форм.

2. Знаходження когомологій де Рама.

Література [3, с.365-379; 6, с.32-46, 74-87].


Лекція 35. Степінь відображення та її застосування.

Степінь відображення. Залежність від точки та рівність степеней гомотопних відображень замкнених многовидів. Застосування.


Лабораторна робота 35. Степінь відображення. Контрольна робота.– 2 год.

1. Степінь сферичного відображення тора.

2. Степінь сферичного відображення замкнених поверхонь.

3. Степінь антимодального відображення сфери.


Завдання для самостійної роботи (4 год.)

1. Зв’язок між степеню відображення кола та елементами фундаментальної групи кола.

2. Теорема про зачісування їжака (існування векторного поля на сфері без особливих точок).

3. Індекс області та особливої точки векторного поля.

Література [1, с.286-289; 3, с.390-398; 6, с.148-161].


Контрольні запитання до змістового модуля 4

  1. Які з наступних просторів є многовидами: а) сфера, б) пряма з двома нулями, в) пряма з дискретною топологією, г) проективний простір, д) об’єднання двох прямих, що перетинаються?

  2. Чи буде об’єднання (добуток, неперервний образ) многовидів многовидом?

  3. Коли множина, що задана системою рівнянь в евклідовому просторі є многовидом?

  4. Як пов’язані поняття підмноговида і вкладеного многовида?

  5. Чи кожне занурення многовида (компактного многовида) без точок само перетину є вкладенням?

  6. Як перевірити чи є многовид орієнтованим?

  7. Чим відрізняються коваріантні тензори від контрваріантних?

  8. Як змінюється валентність тензорів при алгебраїчних операціях з ними?

  9. Як задається зв’язність Леві-Чевіта?

  10. Які компоненти має тензор кривини двовимірної поверхні в тривимірному просторі?

  11. Скільки існує не гомомотопних між собою відображень прямої на пряму, кола на коло, сфери на сферу?

  12. Які з наступних просторів є стяжними: 1) відрізок, 2) площина, 3) коло?

  13. Як залежить фундаментальна група від вибору фіксованої точки?

  14. Як зовнішня форма (групи когомологій) переносяться гладким відображенням?

  15. Якими є степені гомотопних відображень?


Типова контрольна робота

  1. Довести, що проективний простір є гладким многовидом. Чи є він замкненим, орієнтованим?

  2. Довести, що тензорний добуток тензорів є тензором.

  3. Довести, що всі неперервні відображення прямої гомотопні між собою.

  4. Визначити степінь антиподального відображення сфери.



Перелік запитань на іспит

  1. Топологічний простір. Відкриті множини. Топологічна структура метричного простора. Приклади: тривіальна, дискретна, коскінчена топологія.

  2. Окіл. Критерій відкритості множини. База та передбаза. Критерії бази. Сильніша та слабкіша топології.

  3. Індукована топологія та підпростір.

  4. Замкнені множини. Замикання та внутрішність. Скрізь щільні множини. Межа множини.

  5. Неперервне відображення. Критерії неперервності. Збіжність у топологічних просторах. Гомеоморфізм.

  6. Розбиття простору. Зв’язність. Критерій зв’язності. Компоненти зв’язності. Неперервний образ зв’язного простору.

  7. Шлях, лінійна зв’язність. Зв’язність лінійно зв’язного простору. Приклад зв’язного, але лінійно незв’язного простору.

  8. Тихонів добуток, факторпростір.

  9. Аксіоми відокремлюваності. Критерій Т1-простору. Хаусдорфовий та нормальний простори. Нормальність метричного простору.

  10. Лема Урісона.

  11. Теорема Тітце-Урісона про існування неперервного продовження.

  12. Покриття та підпокриття. Компактні простори. Властивості. Теорема про неперервний образ компактного простору.

  13. Теорема Тихонова про топологічний добуток компактних просторів.

  14. Компактифікація. Локально-компактний простір. Теорема про існування одноточкової компактифікації.

  15. Гладкі многовиди. Добуток гладких многовидів. Гладкі функції та відображення гладких многовидів. Дифеоморфізм. Матриця Якобі відображення. Рівність розмірностей дифеоморфних многовидів. Перенесення гладкої структури гомеоморфізмом. Теорема про неявну функцію для многовидів. Підмноговиди.

  16. 3 означення дотичного вектора. Дотичний простір.

  17. Диференціал відображення (відображення захоплення). Регулярні та критичні точки. Регулярні та критичні значення. Субмерсія. Теорема про прообраз регулярного значення.

  18. Занурення (імерсія). Вкладення. Існування вкладення замкненого многовида в евклідів простір.

  19. Орієнтований многовид. Теорема класифікації тріангульованих 2-вимірних многовидів.

  20. Координатне, інваріантне та лінійне означення тензорів.

  21. Лінійні комбінації, перестановка індексів, згортка, тензорний добуток, опускання та підняття індексів, симетрування та альтернація.

  22. Евклідова та афінна зв’язності, коваріантна похідна за напрямком. Алгебраїчні властивості коваріантного диференціювання. Ріманова зв’язність (зв’язність Леві-Чевіта). Паралельний перенос. Тензор кривини (координатне означення).

  23. Гомотопія як відношення еквівалентності. Гомотопічний тип. Стяжні простори. Ретракти.

  24. Фундаментальна група. Залежність від точки. Гомоморфізм фундаментальних груп, що породжений неперервним відображенням. Фундаментальна група гомотопічно еквівалентних просторів.

  25. Зовнішні диференціальні форми як кососиметричні коваріантні тензори. Зовнішній добуток. Диференціал. Когомології де Рама. Їх гомотопічні властивості.

  26. Степінь відображення. Залежність від точки та рівність степеней гомотопних відображень замкнених многовидів. Застосування.



^ СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

а) основна:

  1. О.А.Борисенко. Диференціальна геометрія та топологія. Х. 1995.

  2. Н. И. Кованцов, Г. М. Зражевская, В. Г. Кочаровский, В. И. Михайловский, Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сб. задач, К., 1989.

  3. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, М, 1980.

  4. О.О.Пришляк. Диференціальна геометрія. К. 2004.

б) додаткова:

  1. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Лекции по классической дифференцальной геометрии. http://dfgm.math.msu.su/files/IvaTuzTerm1.zip

  2. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Тензорный анализ на многообразиях. http://dfgm.math.msu.su/files/ivtz2-05.rar

  3. Н. И. Кованцов. Дифференциальная геометрия. К. 1973.

  4. Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин, Дифференциальная геометрия. Первое знакомство, М, 1990.

  5. П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, М, 1956.




Скачати 420.28 Kb.
залишити коментар
Дата конвертації25.11.2012
Розмір420.28 Kb.
ТипДокументы, Освітні матеріали
Додати документ в свій блог або на сайт

Ваша оцінка цього документа буде першою.
Ваша оцінка:
Додайте кнопку на своєму сайті:
uadocs.exdat.com

База даних захищена авторським правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
звернутися до адміністрації
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Поняття

опублікувати
Документи

Рейтинг@Mail.ru
наверх